Из колоды карт вынули 4 туза и 4 короля. Эти карты перемешали и разложили в ряд. Какова вероятность того, что все 4 короля окажутся расположенными рядом?
Решение: Обозначим событие: А - 4 короля окажутся расположенными рядом. Вероятность события А найдем по формуле:
P(A) = m / n.
Общее число n возможных исходов испытания получим аналогично тому, как это сделано в предыдущей задаче. Всего имеется 8 элементов - 8 карт. Эти элементы представлены на рисунке, они помечены номерами от одного до восьми.
® ® ® ® v Ο v Ο v Ο v Ο v
1 2 3 4 5 6 7 8
Элементы 1 - 4 - короли, они представлены символами ®, а элементы 5 - 8 - тузы, они представлены символами Ο. В образовании различных соединений участвуют все 8 элементов, причем соединения отличаются друг от друга только порядком элементов; следовательно, эти соединения представляют собой перестановки из 8-ми элементов. Воспользовавшись формулой:
Pk = k!
где k! = 1·2·3...(k − 1)·k
получим:
n = P8 = 8!
Найдем число m исходов, благоприятствующих событию А.
Пусть короли (элементы 1 - 4) расположатся впереди тузов, т.е. займут соответственно места 1 - 4. В этом случае тузы (элементы 5 - 8) можно переставлять всевозможными способами, занимая оставшиеся свободными 4 места. Число этих способов равно: Р4 = 4!.
Рассмотрим, какие положения могут занимать элементы 1 - 4, если они находятся рядом и расставлены в определенном порядке. На рисунке возможные положения этих элементов показаны знаками v. Как видно из рисунка, таких положений всего 5. Следовательно, число способов разместить в ряду четырех королей так, чтобы они были расположены рядом и в определенном порядке, равно:
4! · 5 = 5!.
Число способов, которыми можно переставлять между собой местами четырех королей, равно:
Р4 = 4!.
Соединяя каждый первый способ расположения карт (короли расположены рядом и в определенном порядке) со вторым (короли расположены рядом, но в произвольном порядке), получим:
m = 5! · 4!.
Искомая вероятность события А равна:
P(A) = m / n = (5! · 4!) / 8! = 1/14.
Ответ: 1/14.